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Dalla Scalare al Vettoriale: La Sfida dei Sistemi Nonlineari
MATH007Lesson 10
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Passare da un'unica equazione $f(x)=0$ a un sistema multivariato è la porta d'accesso alla risoluzione di problemi ingegneristici complessi, dal meccanica orbitale all'analisi strutturale del suolo. Non cerchiamo più uno zero semplice su una retta, ma l'intersezione simultanea di $n$ ipersuperfici nello spazio $n$-dimensionale.

1. La Struttura Matematica

Un sistema nonlineare è rappresentato come un insieme di equazioni dove ogni funzione componente dipende da un vettore di incognite $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$:

$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$

Riassumiamo questa espressione nella forma vettoriale formula chiave:

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$

dove $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$. Le singole funzioni $f_i$ sono designate come le funzioni coordinate di $\mathbf{F}$.

2. Fondamenti Analitici e Continuità

Per risolvere questi sistemi numericamente, dobbiamo garantire che la mappatura sia ben comportata. Le definizioni 10.1–10.3 stabiliscono che limiti e continuità in $\mathbb{R}^n$ sono determinati in modo componente per componente.

Definizione 10.3

Sia $\mathbf{F}$ una funzione da $D \subset \mathbb{R}^n$ in $\mathbb{R}^n$. Diciamo che $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ se e solo se:

$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ per ogni $i=1, \dots, n$.

Utilizzando la definizione $\epsilon-\delta$: per ogni $\epsilon > 0$, esiste $\delta > 0$ tale che $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ ogni volta che $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$.

Errore comune: Indipendenza dalla Norma
Sottigliezza fondamentale: Anche se diverse norme ($\ell_1, \ell_2, \ell_\infty$) possono essere utilizzate, la continuità è indipendente dalla scelta specifica. L'esistenza di un limite è invariante rispetto a qualsiasi norma vettoriale in $\mathbb{R}^n$.

3. Richiamo Teorico

Teorema 1.6: Per le funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$, la continuità può spesso essere dimostrata mostrando la derivabilità. Nel caso multivariato, se le derivate parziali delle funzioni coordinate esistono e sono limitate, la continuità è assicurata, che è un prerequisito per i solutori iterativi.

Esempio classico: Esempio 1

Consideriamo il problema delle piastre circolari nel terreno. Posizioniamo il sistema nonlineare $3 \times 3$ nella forma standard $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$:

  1. $3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
  2. $x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
  3. $e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$

Qui, $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ e $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$.